Noncoercive and parabolic variational inequalities : analysis, applications and model reduction

Abstract

Variational inequalities appear in a variety of practically relevant problems, e.g., in engineering, medicine, or finance. The theory of stationary coercive variational inequalities is quite well-developed. Much less is known for their noncoercive counterpart appearing, e.g., in instationary variational inequalities. In this thesis, noncoercive variational inequalities are analyzed in a variational formulation with (possibly) different trial and test spaces. This setting emerges, e.g., from a space-time formulation of a time-dependent variational inequality in which time is treated as an additional variable within the variational formulation of the problem. We prove well-posedness for the noncoercive variational inequality. Additionally, we derive error estimates for the inequalities and an equivalent saddle-point problem. Since this saddle-point inequality requires a dual variable and a convex cone, we investigate how corresponding spaces have to be chosen such that the obstacle is respected at any time. With this continuous setting at hand, we present sufficient conditions for well-posedness of corresponding discretizations. The error of the continuous solution compared to the discrete solution is numerically investigated, as this error is neglected in the subsequent model reduction. There, the discrete solution is the so-called truth solution from which the reduced basis is derived in terms of certain linear combinations. Several choices exist to construct reduced spaces, in particular to ensure stability within Petrov- Galerkin or saddle-point frameworks. We examine the selection of different combinations for stable reduced spaces and basis generations. The Kolmogorov N-width is numerically investigated (since we are not aware of analytical results), which is the best achievable error for an approximation in terms of a linear space of fixed dimension N . Then, a comparison of two ways to treat time within the reduced basis method for parabolic problems is performed. The pros and cons of each method are emphasized and numerical results are presented for the approximation of the Kolmogorov N-width and a heat inequality model.

Variationsungleichungen finden praktische Anwendung in vielen Bereichen, wie z.B. dem Ingenieurswesen, der Medizin oder dem Finanzwesen. Die Theorie zu stationären koerziven Variationsungleichungen ist gut erforscht, wohingegen für die Theorie des nichtkoerziven Gegenparts viel weniger bekannt ist. Im Rahmen dieser Dissertation werden nichtkoerzive Variationsungleichungen in einer Formulierung mit unterschiedlichen Ansatz- und Testräumen analysiert. Diese Formulierung ergibt sich aus der Raum-Zeit-Formulierung einer zeitabhängigen Variationsungleichung, in welcher die Zeit als zusätzliche Variable des Problems betrachtet wird. Wir beweisen, dass diese nichtkoerzive Variationsungleichung wohlgestellt ist. Zudem leiten wir Fehlerschätzer für die Variationsungleichungen und für ein äquivalentes Sattelpunktproblem her. Da dieses Sattelpunktproblem Definitionen für eine duale Variable und eines konvexen Kegels benötigt, untersuchen wir, wie diese gewählt werden müssen, dass das Hindernis zu keinem Zeitpunkt überschritten wird. Anschließend bestimmen wir hinreichende Voraussetzungen, mit denen wir die Wohlgestelltheit des entsprechenden diskreten Problems zeigen können. Der Fehler der kontinuierlichen Lösung im Vergleich zur diskreten Lösung wird numerisch untersucht, da dieser Fehler bei der folgenden Modellreduktion vernachlässigt wird. Die diskrete Lösung wird auch wahre Lösung genannt, da die reduzierte Basis aus Linearkombinationen dieser Lösungen gebildet wird. Für die reduzierten Räume gibt es mehrere Konstruktionsmöglichkeiten, wie z.B. die Auswahl verschiedener Basisgenerierungen oder verschiedener Kombinationen von reduzierten Räumen, sodass ein stabiles reduziertes System erstellt wird. Die Kolmogorov N-Weite ist der kleinstmögliche Fehler, der bei einer Approximation mit einem linearen Raum der Größe N erreicht werden kann. Diese wird numerisch untersucht, da uns theoretische Resultate nicht bekannt sind. Dann wird ein Vergleich von zwei Methoden zur Behandlung der Zeit innerhalb der Reduzierten Basis Methode für Raum-Zeit-Methoden und Zeitschrittverfahren durchgeführt. Die Vor- und Nachteile jeder Methode werden hervorgehoben und numerische Ergebnisse werden für die Approximation der Kolmogorov N-Weite und für eine Wärmeleitungsungleichung präsentiert.