Form methods for autonomous and non-autonomous Cauchy problems

Abstract

Die vorliegende Dissertation stellt einige Resultate vor, die aus Untersuchungen von Formmethoden hervorgingen. Diese spielen eine wichtige Rolle für Evolutionsgleichungen, wenn sich diese als abstraktes Cauchy-Problem schreiben lassen, bei dem der lineare Operator zu einer Sesquilinearform assoziiert ist. Dies ist der Fall für die meisten partiellen Differentialgleichungen. Falls diese Form dicht definiert, stetig und elliptisch ist, so ist das zugehörige abstrakte Cauchy-Problem wohlgestellt, denn der Operator ist der Generator einer analytischen Kontraktionshalbgruppe. Dann ist man an den Eigenschaften der Lösung interessiert, die direkt von der Form abgelesen werden können, wie Positivität, Kontraktivität und Regularität. Die Situation ist heikler für nicht autonome Cauchy-Probleme, wenn die Form auch vom Zeitparameter abhängt. Unter geeigneten Messbarkeitsannahmen definiert die Familie der assoziierten Operatoren einen Multiplikationsoperator.

Trotz des gemeinsamen Ausgangspunktes hat die Forschung in drei verschiedene Richtungen geführt, die hier in unabhängigen Kapiteln dargestellt werden. Nach einem einführenden Kapitel beschäftigen wir uns im zweiten Kapitel mit Multiplikationsoperatoren. Das dritte Kapitel behandelt nicht-autonome variationelle Cauchy Probleme. Partielle Differentialgleichungen in unendlichdimensionalen Räumen sind Thema des letzten Kapitels.