Geometric ergodicity of multivariate stochastic volatility models

Abstract

Several multivariate continuous time stochastic volatility models are studied regarding the existence of and exponentially fast convergence to a unique stationary distribution, which is called geometric ergodicity. The geometric ergodicity ensures fast convergence to the stationary regime in simulations, implies exponential -mixing and thereby several Central Limit Theorems. This, in turn, paves the way for statistical inference. In particular we investigate the multivariate continuous time GARCH processes, the class of a ne processes on the positive semide nite matrices and CARMA processes driven by a Lévy-driven COGARCH process. All the studied processes are Feller processes and therefore we can follow a classical Markov approach to show the geometric ergodicity. To this end we have to prove a Foster-Lyapunov drift condition on the generator of the process. The task at this point is to nd a suitable test function. The needed conditions are roughly summarized a su ciently high mean reverting speed and the niteness of certain moments of the jump distributions corresponding to the chosen test function. To show this is the other key task in the proofs when following this approach. We can prove the irreducibility in the case that the jumps are of compound Poisson type. For the MUCOGARCH volatility process another tricky issue is that the jumps are of rank one. We overcome this problem by summing up enough jumps. For the a ne processes we reduce the problem to the well-known Wishart processes and for the CARMA-COGARCH process we demand that the driving Lévy process has a Brownian Motion component.

Verschiedene zeitstetige multivariate stochastische Volatilitätsmodelle werden hinsichtlich der Existenz einer eindeutigen stationären Verteilung sowie der Konvergenz gegen diese mit exponentieller Geschwindigkeit untersucht. Diese exponentiell schnelle Konvergenz gegen die stationäre Verteilung wird geometrische Ergodizität genannt. Sie garantiert damit auch bei Simulationen eine schnelle Konvergenz gegen das stationäre Regime. Auÿerdem impliziert geometrische Ergodizität, dass der Prozess exponentiell -mischend ist. Damit wiederum können verschiedene zentrale Grenzwertsätze bewiesen werden. Die Gültigkeit von zentralen Grenzwertsätzen ermöglicht es verschiedene Fragestellungen der mathematischen Statistik anzugehen. Im Einzelnen untersuchen wir multivariate zeitstetige GARCH Prozesse, A ne Prozesse auf den positiv semide niten Matrizen sowie CARMA Prozesse getrieben von einem Lévy getriebenen COGARCH Prozess. Da diese Prozesse alle Feller Prozesse sind, können wir die geometrische Ergodizit ät durch Anwendung eines klassischen Markov Ansatzes beweisen. Dieser Ansatz beinhaltet eine Drift Bedingung an den verallgemeinerten Generator des Prozesses, die sogenannte Foster-Lyapunov Drift Bedingung. Die erste Schwierigkeit hierbei ist es eine geeignete Testfunktion zu nden. Kurz zusammengefasst sind die hinreichenden Bedingungen eine starke Rückkehr zum Mittelwert sowie gewisse, den Testfunktionen entsprechende, Momentenbedingungen an die Sprungverteilungen. Diese Momentenbedingungen stellen eine weitere Schwierigkeit dieses Ansatzes dar. Außerdem zeigen wir die Irreduzibilität der betrachteten Prozesse unter der Vorraussetzung, dass die Sprünge von einem zusammengesetzten Poisson Prozess stammen. Beim MUCOGARCH Volatilitätsprozess ist dies nicht einfach zu zeigen, da die Sprünge selbst Rang 1 Matrizen sind. Bei den A nen Prozessen können wir die Irreduzibilität durch das Wissen über die bekannten Wishart Prozesse beweisen. Im Falle der CARMA-COGARCH Prozesse fordern wir zusätzlich, dass der Lévy Prozess eine Brown'sche Bewegung beinhaltet.