On second order elliptic stochastic partial differential equations and almost periodically stationary processes

Abstract

This thesis covers various topics in the field of probability theory and stochastic processes and consists of three parts. In the first part, we are interested in second order elliptic stochastic partial differential equations driven by L\'evy white noise and derive existence results for generalized and mild solutions. In the second part, we investigate stochastic processes with almost periodic finite dimensional distributions and derive a characterization for infinitely divisible processes in terms of their characteristic triplets. Moreover, we obtain a central limit theorem for such processes, where $m$-dependence and uniform integrability is assumed. In this regard, we investigate in the third part the generalized uniform integrability of infinitely divisible processes and especially of certain stochastic integrals.

In Chapter 2 we obtain generalized solutions $s$ in the space of distributions of the stochastic partial differential equation $p(x,D)s=\Dot{L}$, where $\Dot{L}$ is a L\'evy white noise and $p$ is a second order elliptic partial differential operator. Furthermore, we discuss moment properties of the generalized random processes $s$ and show that if $\Dot{L}$ has finite $\beta>0$ moment, then also $s$ has finite $\beta$-moment under further conditions. Moreover, we give sufficient conditions for the existence and stochastic continuity of mild solutions. As an application, we achieve generalized and stochastically continuous mild solutions for the generalized electric Schr\"odinger operator driven by L\'evy white noise.

In the context of stochastic processes, there are miscellaneous concepts of almost periodicity, such as almost periodic in distribution, in probability, almost sure, etc. In Chapter 3 we derive a sufficient and necessary condition for stochastic processes to have almost periodic finite dimensional distributions and especially obtain a characterization for infinitely divisible processes to be almost periodic in terms of the characteristic triplets. We apply these results to stochastic processes which are defined as stochastic integrals driven by a L\'evy basis and also state a sufficient condition for such processes to be almost periodic in probability. Afterwards, we show the existence of an Ornstein-Uhlenbeck-type process with almost periodic finite dimensional distributions and also state a central limit theorem for $m$-dependent and $L^2$-uniformly integrable processes with almost periodic finite dimensional distributions. % $(X_t)_{t\in T}$, where by generalized uniform integrability we mean that $(g(X))_{t\in T}$ is uniformly integrable for suitable submultiplicative deterministic functions $g$.

Motivated by the assumption of uniform integrability in our central limit theorem, we discuss in Chapter 4 the generalized uniform integrability of infinitely divisible processes. We establish sufficient conditions under which stochastic integrals driven by a L\'evy basis are generalized uniformly integrable and apply our results to the mild solution of the electric Schr\"odinger equation and to Ornstein-Uhlenbeck-type processes.

Diese Arbeit behandelt verschiedene Themen im Bereich der Wahrscheinlichkeitstheorie und stochastischen Prozesse und besteht aus drei Teilen. Im ersten Teil interessieren wir uns für elliptische stochastische partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die durch L\'evy weißes Rauschen angetrieben werden und leiten Existenzresultate f\"ur verallgemeinerte und milde L\"osungen her. Im zweiten Teil untersuchen wir stochastische Prozesse mit fastperiodischen endlichdimensionalen Verteilungen und leiten eine Charakterisierung für unendlich teilbare Prozesse bezüglich ihrer charakteristischen Triplets ab. Außerdem erhalten wir f\"ur solche Prozesse einen zentralen Grenzwertsatz, bei dem $m$-Abhängigkeit und gleichgradige Integrierbarkeit vorausgesetzt werden. In diesem Zusammenhang untersuchen wir im dritten Teil die verallgemeinerte gleichgradige Integrierbarkeit unendlich teilbarer Prozesse und insbesondere gewisser stochastischer Integrale.

In Kapitel 2 erhalten wir generalisierte Lösungen $s$ im Raum der Distributionen der stochastischen partiellen Differentialgleichung $p(x,D)s=\Dot{L}$, wobei $\Dot{L}$ ein L\'evy weißes Rauschen und $p$ ein elliptischer partieller Differentialoperator zweiter Ordnung ist. Des Weiteren diskutieren wir Momenteneigenschaften des generalisierten stochastischen Prozess $s$ und zeigen, dass wenn $\Dot{L}$ endliches $\beta>0$ Moment hat, dann hat auch $s$ endliches $\beta$-Moment unter weiteren Bedingungen. Außerdem geben wir hinreichende Bedingungen für die Existenz stochastisch stetiger milder Lösungen an. Als Anwendung zeigen wir die Existenz stochastisch stetiger milder Lösungen für den verallgemeinerten elektrischen Schr\"odinger-Operator welcher von L\'evy weißem Rauschen angetrieben wird.

Im Zusammenhang mit stochastischen Prozessen gibt es verschiedene Konzepte von Fastperiodizität, wie etwa fast periodisch in Verteilung, in Wahrscheinlichkeit, fast sicher usw.~In Kapitel 3 erhalten wir eine hinreichende und notwendige Bedingung wann stochastische Prozesse fastperiodische endlichdimensionale Verteilungen haben und erhalten insbesondere eine Charakterisierung für unendlich teilbare Prozesse abhängig von deren charakteristischen Triplets. Wir wenden diese Resultate auf stochastische Prozesse an, die als stochastische Integrale definiert sind, welche von einer L\'evy Basis angetrieben werden. Zudem geben wir eine hinreichende Bedingung dafür an, wann solche Prozesse in Wahrscheinlichkeit fastperiodisch sind. Anschließend zeigen wir die Existenz eines Ornstein-Uhlenbeck-typ Prozesses mit fastperiodischen endlichdimensionalen Verteilungen und geben auch einen zentralen Grenzwertsatz für $m$-abhängige und $L^2$-gleichgradig integrierbare Prozesse mit fastperiodischen endlichdimensionalen Verteilungen an.

Motiviert durch die Annahme gleichgradiger Integrierbarkeit in unserem zentralen Grenzwertsatz diskutieren wir in Kapitel 4 die verallgemeinerte gleichgradige Integrierbarkeit unendlich teilbarer Prozesse. Wir erhalten hinreichende Bedingungen unter denen stochastische Integrale, die von einer L\'evy Basis angetrieben werden, gleichgradig integrierbar sind und wenden unsere Resultate auf die milde Lösung der elektrischen Schrödinger-Gleichung und auf Ornstein-Uhlenbeck-typ Prozesse an.