Portfolio optimization with risk constraints

Abstract

In dieser Arbeit setzen wir uns mit den Auswirkungen von Risikobeschränkungen auf das optimale Verhalten eines Investors auseinander, welcher versucht, den erwarteten Endnutzen zu einem festgelegten Zeitpunkt zu maximieren. Dazu kann er ein vorgegebenes Anfangsvermögen in einem Markt investieren. Zusätzlich zu diesem klassischen Rahmen muss der Investor eine Risikobedingung beachten. Konkret ist dies eine Beschränkung des Value-at-Risks, des erwarteten Shortfalls oder des bedingten Value-at-Risks. Zunächst untersuchen wir ein allgemeines Marktmodell, welches im Wesentlichen aus einem Wahrscheinlichkeits- und einem Preismaß besteht. Das Verhalten wird durch eine Zufallsvariable beschrieben, welche das Endvermögen angibt. Wir bestimmen Bedingungen für die Existenz eines zulässigen Endvermögens, notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz und Eindeutigkeit eines optimalen Endvermögens, berechnen explizite Formeln für optimale Endvermögen und untersuchen Eigenschaften der Lösungen. Das andere betrachtete Marktmodell ist ein klassisches, dynamisches Modell eines vollständigen Marktes mit einer risikolosen Anlageform und mehreren risikobehafteten Anlagen, deren Entwicklung von einer mehrdimensionalen Brownschen Bewegung abhängt. Dieser Markt passt in den Rahmen des allgemeinen Modells und wir können die bereits gewonnenen Erkenntnisse benutzen, um die Fragen nach der Existenz von zulässigen Strategien bzw. optimalen Strategien zu beantworten. Des Weiteren berechnen wir optimale Endvermögen und optimale Investitionsstrategien und diskutieren die Ergebnisse. Danach formen wir die Optimierungsprobleme um, so dass die Hamilton-Jacobi-Bellman Methode oder auch das stochastische Maximumsprinzip angewendet werden können. Wir begnügen uns damit, die Hamilton-Jacobi-Bellman Methode für einen Spezialfall grob zu behandeln. Abschließend versuchen wir die Frage zu beantworten, welches der untersuchten Risikomaße am besten für die Anwendung geeignet ist.