Constrained gradient flows for Willmore-type functionals

Abstract

This cumulative thesis discusses various aspects of constrained gradient flows of higher order. The main focus is the analysis of constrained Willmore-type flows of curves and surfaces and especially their asymptotic behavior. These flows yield quasilinear nonlocal geometric evolution equations of fourth order, making them challenging from the perspective of partial differential equations. Chapter 1 provides a brief review on the relevant geometric and analytic concepts needed for the following chapters 2 to 7, each of which contains one research article, Articles A to F. Chapter 2. Article A: F. Rupp. On the Lojasiewicz-Simon gradient inequality on submanifolds. J. Funct. Anal. 279 (8):108708, 2020. 33 pages. We prove a suitable version of the Lojasiewicz–Simon gradient inequality, a fundamental functional analytic tool to study general gradient flows with constraints, which will be essential for the subsequent asymptotic analysis of concrete geometric evolution problems. Chapter 3. Article B: F. Rupp and A. Spener. Existence and convergence of the length-preserving elastic flow of clamped curves, 2020. Preprint. 49 pages. We discuss the length-preserving elastic flow of open curves with clamped boundary conditions and prove existence, parabolic smoothing and convergence for initial data lying merely in the energy space. Chapter 4. Article C: F. Rupp. The volume-preserving Willmore flow, 2020. Preprint. 46 pages. We consider a constrained version of the Willmore flow of immersed closed surfaces which preserves the enclosed volume. For spherical initial data with nonzero volume and Willmore energy below 8π, we show global existence and convergence. Chapter 5. Article D: F. Rupp. The Willmore flow with prescribed isoperimetric ratio, 2021. Preprint. 39 pages. We study the Willmore flow with a constraint on the isoperimetric ratio. This flow describes a dynamical approach to the Canham–Helfrich model for lipid bilayers with zero spontaneous curvature. Under suitable assumptions on the topology and the initial energy, we can show that the flow exists globally and converges to an equilibrium. Chapter 6. Article E: M. Müller and F. Rupp. A Li–Yau inequality for the 1-dimensional Willmore energy, 2021. To appear in Adv. Calc. Var. 33 pages. We study the relation between self-intersections of planar curves and Euler’s elastic energy and show embeddedness along the elastic flow below a certain energy threshold. Chapter 7. Article F: T. Miura, M. Müller and F. Rupp. Optimal thresholds for preserving embeddedness of elastic flows, 2021. Preprint. 39 pages. We extend the previous result in Article E by finding optimal energy thresholds below which any initially embedded curve will remain embedded under the elastic flow.

Diese kumulative Dissertation beschäftigt sich mit Gradientenflüssen höherer Ordnung unter Nebenbedingungen. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf Flüssen vom Willmore-Typ, sowohl von Kurven als auch von Flächen, und besonders auf deren asymptotischem Verhalten. Diese Flüsse entsprechen quasilinearen, nichtlokalen und geometrischen Evolutionsgleichungen vierter Ordnung, was sie zu herausfordernden Problemen im Bereich der partiellen Differenzialgleichungen macht. Kapitel 1 bietet eine kurze Wiederholung der für die nachfolgenden Kapitel relevanten geometrischen und analytischen Konzepte. Kapitel 2 bis 7 beinhalten jeweils die Forschungsartikel A bis F. Kapitel 2. Artikel A: F. Rupp. On the Lojasiewicz-Simon gradient inequality on submanifolds. J. Funct. Anal. 279 (8):108708, 2020. 33 Seiten. Wir beweisen eine geeignete Version der Lojasiewicz–Simon Gradientenungleichung, einem grundlegenden funktionalanalytischen Werkzeug für die Untersuchung allgemeiner Gradientenflüsse mit Nebenbedingungen, das für die anschließende Analyse konkreter geometrischer Evolutionsprobleme essenziell ist. Kapitel 3. Artikel B: F. Rupp and A. Spener. Existence and convergence of the length-preserving elastic flow of clamped curves, 2020. Preprint. 49 Seiten. Dieser Artikel setzt sich mit dem längenerhaltenden elastischen Fluss offener Kurven mit eingespannten Randbedingungen auseinander. Wir zeigen Existenz, parabolische Glättung und Konvergenz für Anfangswerte, die lediglich im Energieraum liegen. Kapitel 4. Artikel C: F. Rupp. The volume-preserving Willmore flow, 2020. Preprint. 46 Seiten. Wir betrachten eine Variante des Willmore-Flusses für immersierte, geschlossene Flächen, die das eingeschlossene Volumen festhält. Für sphärische Anfangswerte mit Volumen ungleich Null und Willmore-Energie kleiner als 8π beweisen wir globale Existenz und Konvergenz. Kapitel 5. Artikel D: F. Rupp. The Willmore flow with prescribed isoperimetric ratio, 2021. Preprint. 39 Seiten. Wir untersuchen den Willmore-Fluss unter der Nebenbedingung eines vorgegebenen isoperimetrischen Quotienten. Dieser Fluss beschreibt eine dynamische Version des Canham–Helfrich-Modells für Doppellipidschichten. Unter geeigneten Annahmen an die Topologie und die Anfangsenergie zeigen wir, dass dieser Fluss global existiert und gegen ein Äquilibrium konvergiert. Kapitel 6. Artikel E: M. Müller and F. Rupp. A Li–Yau inequality for the 1- dimensional Willmore energy, 2021. Zur Veröffentlichung akzeptiert in Adv. Calc. Var. 33 Seiten. Wir untersuchen die Beziehung zwischen den Selbstüberschneidungen planarer Kurven und der Eulerschen elastischen Energie und zeigen, dass der elastische Fluss unterhalb einer gewissen Energieschranke stets eingebettet ist. Kapitel 7. Artikel F: T. Miura, M. Müller and F. Rupp. Optimal thresholds for preserving embeddedness of elastic flows, 2021. Preprint. 39 Seiten. Wir erweitern die Resultate aus Artikel E, indem wir optimale Energieschranken finden, unterhalb derer eine anfangs eingebettete Kurve unter dem elastischen Fluss eingebettet bleibt.